Question

7．已知关于x的一元二次方程x²-2（a-2）x-b²+12=0．
（1）若a，b是一枚正方形的骰子（骰子六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6）掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；
（2）若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求方程有实根的概率．

Answer 1

分析 （1）本题是一个古典概型，用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件，基本事件（a，b）的总数有36个满足条件的事件是二次方程x²-2（a-2）x-b²+12=0有两正根，根据实根分布得到关系式，得到概率．
（2）本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a-2）²+b²≥12}，做出两者的面积，得到概率．

解答 解：（1）记“方程有两个正根”为事件A，基本事件（a，b）共有36个…（2分）
方程有正根等价于$\left\{\begin{array}{l}{a-2＞0}\\{12-{b}^{2}＞0}\\{（a-2）^{2}+{b}^{2}≥12}\end{array}\right.$，
则事件A包含的基本事件为（4，3）、（5，2）、（5，3）、（6，1）、（6，2）、（6，3）共6个…（4分）
P（A）=$\frac{6}{36}$=$\frac{1}{6}$…（6分）
故所求的概率为$\frac{1}{6}$…（7分）
（2）记“方程无实根”为事件B，试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，
其面积为S（Ω）=16
满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a-2）²+b²≥12}，
其面积为S（B）=16-3π…（11分）
P（B）=1-$\frac{3π}{16}$…（13分）
故所求的概率为1-$\frac{3π}{16}$…（14分）

点评 本题考查古典概型和几何概型，几何概型和古典概型是高中必修中学习的，高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答题目．