Question

12．如图，等腰三角形OAB的顶点A、B的坐标分别为（6，0），（3，3），且AB与曲线y=$\sqrt{x}$交于点C，在△OAB中任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{5}{27}$
• D． $\frac{11}{54}$

Answer 1

分析 求出C的坐标，根据几何概型的概率公式求出对应的面积进行求解即可．

解答 解：∵顶点A，B的坐标分别为（6，0），（3，3），
∴AB的方程为$\frac{y-0}{3-0}=\frac{x-6}{3-6}$，
即y=-x+6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{y=\sqrt{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，即C（4，2），
0B的方程为y=x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\sqrt{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即D（1，1），
则△ODE的面积S=$\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，
则△AFC的面积S=$\frac{1}{2}×2×2=2$，
△OAB的面积S=$\frac{1}{2}×6×3=9$，
曲边四边形DEFC的面积S=${∫}_{1}^{4}\sqrt{x}$dx=$\frac{2}{3}$x${\;}^{\frac{3}{2}}$|${\;}_{1}^{4}$=$\frac{16}{3}-\frac{2}{3}=\frac{14}{3}$，
则阴影部分的面积S=9-$\frac{1}{2}-\frac{14}{3}$-2=$\frac{23}{6}$-2=$\frac{11}{6}$，
故点P落在阴影部分的概率为$\frac{\frac{11}{6}}{9}$=$\frac{11}{54}$，
故选：D．

点评 本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出C的坐标以及阴影部分的面积是解决本题的关键．