Question

17．在等差数列{a_n}中，a₃+a₅=16，若对任意正整数n都有a₁+a₂+a₃+…+a_n=an²+bn，其中a，b为常数，则128^a+2^b的最小值为32．

Answer 1

分析 由题意和等差数列的性质可得7a+b=8，而128^a+2^b=2^7a+2^b，由基本不等式可得．

解答 解：由题意可得a₁+a₂+a₃+…+a₇=49a+7b，
∴由求和公式和等差数列的性质可得$\frac{7（{a}_{1}+{a}_{7}）}{2}$
=$\frac{7}{2}$（a₃+a₅）=$\frac{7}{2}$×16=49a+7b，即7a+b=8，
∴128^a+2^b=2^7a+2^b≥2$\sqrt{{2}^{7a+b}}$=32
当且仅当2^7a=2^b即a=$\frac{4}{7}$且b=4时取等号，
故答案为：32

点评 本题考查等差数列的性质和求和公式，涉及基本不等式求最值，属基础题．