Question

5．已知F₁（-c，0），F₂（c，0）为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2c²，则此椭圆离心率的取值范围是[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．

Answer 1

分析 设P（m，n），通过$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2c²，将P（m，n）代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，计算可得$\frac{c}{a}$≥$\frac{1}{2}$，利用m²≤a²，计算可得$\frac{c}{a}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，进而可得结论．

解答 解：设P（m，n），
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-c-m，-n）•（c-m，-n）=m²-c²+n²=2c²，
∴m²+n²=3c²，n²=3c²-m²，①
将P（m，n）代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1得：b²m²+a²n²=a²b²，②
把①代入②得：m²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}-3{a}^{2}{c}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}$≥0，∴a²b²≤3a²c²，
∴b²≤3c²，a²-c²≤3c²，∴$\frac{c}{a}$≥$\frac{1}{2}$，
又∵m²≤a²，∴$\frac{{a}^{2}{b}^{2}-3{a}^{2}{c}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}$≤a²，∴a²-3c²≥0，
∴$\frac{c}{a}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
综上，$\frac{1}{2}$≤$\frac{c}{a}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．

点评 本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．