Question

16．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax-a，x≥a}\\{-{x}^{2}+ax-a，x＜a}\end{array}\right.$．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若a≥4，试讨论函数y=f（x）的零点个数，并求出零点．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，化简f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-2，x≥2}\\{-{x}^{2}+2x-2，x＜2}\end{array}\right.$；由二次函数的性质写出单调区间即可；
（2）按分段函数讨论，结合函数的单调性及二次函数的性质确定函数零点的个数，再由方程求根，从而得到零点．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-2，x≥2}\\{-{x}^{2}+2x-2，x＜2}\end{array}\right.$；
由二次函数的性质知，
f（x）在[2，+∞）上是增函数，
在（-∞，1]上是增函数，在（1，2）上是减函数；
故函数f（x）的单调增区间为（-∞，1]，[2，+∞）；
单调减区间为（1，2）．
（2）当a≥4时，
f（x）在[a，+∞）上是增函数，
又∵f（a）=-a＜0；
∴f（x）在[a，+∞）上有一个零点，
由x²-ax-a=0解得，
x=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$；
f（x）在（-∞，$\frac{a}{2}$]上是增函数，在（$\frac{a}{2}$，a）上是减函数；
而f（a）=-a＜0，f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{a（a-4）}{4}$≥0；
①当a=4时，x=2是函数y=f（x）的零点；
②当a＞4时，f（x）在（-∞，a）上有两个零点，
由-x²+ax-a=0解得，
x=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$或x=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$．
综上所述，
当a=4时，函数y=f（x）有两个零点，分别为2，2+2$\sqrt{2}$；
当a＞4时，函数y=f（x）有三个零点，分别为$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$．

点评 本题考查了分段函数的应用及二次函数的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．