Question

6．正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面中心）S-ABCD的底面边长为4，高为4，点E、F、G分别为SD，CD，BC的中点，动点P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PG∥平面AEF，动点P的轨迹的周长为（　　）

• A． $\sqrt{5}$+$\sqrt{6}$
• B． 2$\sqrt{5}$+2$\sqrt{6}$
• C． $\sqrt{5}$+$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• D． 2$\sqrt{5}$+$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 先想着找到P点的轨迹：取SB的中点M，并连接GM，作GN∥AF，与AB交于N，再连接MN，从而可说明平面MNG∥平面AEF，从而便找到P点的轨迹为MG，NG，MN三条线段，把这三线段的长度求出即可．连接AC，BD，并交于O点，连接SO，这样即可分别以OB，OC，OS三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，根据条件求出M，N，G三点的坐标，然后利用空间中两点间的距离公式求三线段MG，NG，MN即可．

解答 解：取SB中点M，连接GM，则GM∥SC，又EF∥SC；
∴GM∥EF，EF?平面AEF，GM?平面AEF；
∴GM∥平面AEF；
过G作GN∥AF，交AB于N，并连接GN，同理可得GN∥平面AEF，GM∩GN=G；
∴平面GMN∥平面AEF；
∴动点P的轨迹便是线段MN，MG，NG，轨迹的周长便是MN+MG+NG；
连接AC，BD，并交于O，则分别以OB，OC，OS三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：
B（$2\sqrt{2}$，0，0），C（0，$2\sqrt{2}$，0），G（$\sqrt{2}，\sqrt{2}，0$），S（0，0，4），M$（\sqrt{2}，0，2）$，A（0，-$2\sqrt{2}$，0），N（$\frac{3\sqrt{2}}{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}$，0）；
∴$|MN|=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+4}=\sqrt{5}$，$|MG|=\sqrt{6}$，|NG|=$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{9}{2}}=\sqrt{5}$；
∴P点轨迹的周长为$2\sqrt{5}+\sqrt{6}$．
故选：D．

点评 考查三角形中位线的性质，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性质，以及通过建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式求空间线段长度的方法，理解轨迹的概念．