Question

18．函数f（x）=|x-3|（${2^{sin\frac{πx}{2}}}$-1）-1（-3≤x≤9）的所有零点之和为（　　）

• A． 6
• B． 10
• C． 12
• D． 18

Answer 1

分析 作函数y=${2^{sin\frac{πx}{2}}}$-1与函数y=$\frac{1}{|x-3|}$在[-3，9]上的图象如下，从而结合图象求解零点之和．

解答 解：令|x-3|（${2^{sin\frac{πx}{2}}}$-1）-1=0，
${2^{sin\frac{πx}{2}}}$-1=$\frac{1}{|x-3|}$，（x≠3）；
作函数y=${2^{sin\frac{πx}{2}}}$-1与函数y=$\frac{1}{|x-3|}$在[-3，9]上的图象如下，

结合图象可知，
函数y=${2^{sin\frac{πx}{2}}}$-1与函数y=$\frac{1}{|x-3|}$在[-3，9]上关于x=3对称；
函数y=${2^{sin\frac{πx}{2}}}$-1与函数y=$\frac{1}{|x-3|}$在[-3，9]上有6个交点；
故函数f（x）=|x-3|（${2^{sin\frac{πx}{2}}}$-1）-1（-3≤x≤9）的所有零点之和为3×6=18；
故选D．

点评 本题考查了函数的性质的应用及数形结合的思想应用，属于基础题．