Question

3．已知点A（a，b）在y=-x²+3lnx的图象上，点B（m，n）在y=x+2的图象上，则（a-m）²+（b-n）²的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 8

Answer 1

分析 （a-m）²+（b-n）²的几何意义是y=-x²+3lnx的图象上的点与y=x+2的图象上的点的距离的平方；从而求导，求出切线，求平行线间的距离即可．

解答 解：∵点A（a，b）在y=-x²+3lnx的图象上，点B（m，n）在y=x+2的图象上，
又∵（a-m）²+（b-n）²的几何意义是点A（a，b）与点B（m，n）两点间距离的平方；
∴（a-m）²+（b-n）²的几何意义是y=-x²+3lnx的图象上的点与y=x+2的图象上的点的距离的平方；
∵y=-x²+3lnx，
∴y′=-2x+3$\frac{1}{x}$=$\frac{3-2{x}^{2}}{x}$，（x＞0）
故y_max=-$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$ln$\frac{3}{2}$＜0，
故y=-x²+3lnx的图象始终在y=x+2的图象的下方，
令y′=-2x+3$\frac{1}{x}$=1得，
x=1；
此时y=-1+0=-1，
故切线方程为y=x-2；
y=x-1与y=x+2的距离为$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$；
故（a-m）²+（b-n）²的最小值为（2$\sqrt{2}$）²=8，
故选D．

点评 本题考查了导数的综合应用及转化的思想应用，属于中档题．