Question

13．我国齐梁时代的数学家祖恒（公元前5-6世纪）提出了一条原理：“幂势既同，则买家不容异”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于平面的任何平面所截．如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等，设由椭圆x${\;}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$所围成的平面图形绕y轴旋转一周得到的几何体（成为椭球体）体积为V₁：由直线y=±2x，x=±1所围成的平面图形（如图阴影部分）绕y轴旋转一周所得到的几何体条件为V₂：根据祖恒原理等知识，通过考察V₂可得到V₁的体积为$\frac{8}{3}π$．

Answer 1

分析 先求出V₂，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，可得结论．

解答 解：由题意，V₂=π×1×4-2×$\frac{1}{3}π×{1}^{2}×2$=$\frac{8}{3}π$，
根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，
所以V₁=$\frac{8}{3}π$．
故答案为：$\frac{8}{3}π$．

点评 此题考查了圆柱的体积公式及圆锥的体积公式，还考查了学生空间的想象能力及计算技能．