Question

3．己知f（x）=|x²-4x|+ax-2恰有2个零点，求a的范围．

Answer 1

分析 由题意知，函数g（x）=|x²-4x|-2与函数h（x）=-ax恰有2个不同的交点，作函数图象，结合图象求解即可．

解答 解：∵函数f（x）=|x²-4x|+ax-2恰有2个零点，
∴方程f（x）=|x²-4x|+ax-2=0恰有2个不同的解，
∴函数g（x）=|x²-4x|-2与函数h（x）=-ax恰有2个不同的交点，
作函数g（x）=|x²-4x|-2与函数h（x）=-ax的图象如下，

结合图象知，直线m是切线，
当0＜x＜4时，g（x）=4x-x²-2，
则4-2x=$\frac{4x-{x}^{2}-2}{x}$，
解得，x=$\sqrt{2}$；
故直线m的斜率k=4-2$\sqrt{2}$；
直线n的斜率k=$\frac{-2}{4}$=-$\frac{1}{2}$；
故-a＜-$\frac{1}{2}$或-a＞4-2$\sqrt{2}$；
故a＞$\frac{1}{2}$或a＜2$\sqrt{2}$-4．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及导数的应用，同时考查了函数的零点的判断与应用，属于中档题．