Question

8．设S_n是数列{a_n}（n∈N^*）的前n项和，已知a₁=4，a_n+1=S_n+3ⁿ，设b_n=S_n-3ⁿ，
（1）证明：数列{b_n}是等比数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=2log₂b_n-$\frac{n}{{b}_{n}}$+2，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）a₁=4，a_n+1=S_n+3ⁿ，利用递推式化为${a}_{n+1}-2×{3}^{n}$=2$（{a}_{n}-2×{3}^{n-1}）$，a₁-2=2，a₂=a₁+3=7，a₂-2×3=1．
可得数列$\{{a}_{n}-2×{3}^{n-1}\}$是从第二项起为等比数列，公比为2，再利用等比数列的通项公式可得a_n，b_n．
（2）c_n=2log₂b_n-$\frac{n}{{b}_{n}}$+2=2n-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式可得数列$\{\frac{n}{{2}^{n-1}}\}$的前n项和，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵a₁=4，a_n+1=S_n+3ⁿ，
∴当n≥2时，a_n=${S}_{n-1}+{3}^{n-1}$，∴a_n+1-a_n=a_n+2×3^n-1，
化为${a}_{n+1}-2×{3}^{n}$=2$（{a}_{n}-2×{3}^{n-1}）$，a₁-2=2，
a₂=a₁+3=7，a₂-2×3=1．
∴数列$\{{a}_{n}-2×{3}^{n-1}\}$是从第二项起为等比数列，公比为2，
∴${a}_{n}-2×{3}^{n-1}$=2^n-2，
∴a_n=2×3^n-1+2^n-2（n≥2），a₁=4．
∴S_n=${a}_{n+1}-{3}^{n}$=2×3ⁿ+2^n-1-3ⁿ=3ⁿ+2^n-1，
∴b_n=S_n-3ⁿ=2^n-1．（n=1时也成立）．
∴数列{b_n}是等比数列，首项为1，公比为2．
（2）解：b_n=2^n-1．
c_n=2log₂b_n-$\frac{n}{{b}_{n}}$+2=2（n-1）-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$+2=2n-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
设数列$\{\frac{n}{{2}^{n-1}}\}$的前n项和为A_n，
则A_n=1+$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}$A_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$A_n=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$，
∴A_n=4-$\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$
∴数列{c_n}的前n项和T_n=$\frac{n（2+2n）}{2}$-4+$\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$
=n²+n-4+$\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了递推式、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．