Question

13．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=$\frac{π}{2}$，AD=2$\sqrt{2}$，AB=3DC=3．
（1）在棱PB上确定一点E，使得CE∥平面PAD；
（2）若PA=PD=$\sqrt{6}$，PB=PC，求直线PA与平面PBC所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）过C作CF∥AD，交AB于F，过F作FE∥AP，交PB于E，连接CE，能够说明CE∥平面PAD，这样便从棱PB上确定了一点E，使得CE∥平面PAD；
（2）取BC中点G，AD中点H，连接PG，GH，PH，能够说明BC⊥平面PGH，进而根据线面垂直的判定定理证明PH⊥平面ABCD，这样便可以三直线HA，HA的垂线，HP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后确定图形上几点的坐标．设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\end{array}\right.$即可求出法向量$\overrightarrow{n}$，设直线PA和平面PBC所成角为θ，则由sinθ=$|cos＜\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{n}＞|$即可求得直线PA和平面PBC所成角的大小．

解答 解：（1）如图，作CF∥DA，交AB于F；
又AB∥DC；
∴四边形AFCD为平行四边形；
∴AF=DC=$\frac{1}{3}AB$；
CF∥DA，DA?平面PAD，CF?平面PAD；
∴CF∥平面PAD；
同理，作FE∥AP，连接CE，则FE∥平面PAD，FE∩CF=F；
∴平面CEF∥平面PAD，CE?平面CEF；
∴CE∥平面PAD，且PE=$\frac{1}{3}PB$；
∴在棱PB上找到了点E，满足PE=$\frac{1}{3}$PB，使CE∥平面PAD；
（2）分别取BC，AD中点G，H，并连接GH，PG，PH；
∵PB=PC，∴BC⊥PG；
又BC⊥AB，GH∥AB；
∴BC⊥GH，GH∩PG=G；
∴BC⊥平面PGH，PH?平面PGH；
∴BC⊥PH，即PH⊥BC；
又PA=PD，H为AD中点，∴PH⊥AD，AD和BC相交，且都在平面ABCD内；
∴PH⊥平面ABCD；
∴分别以HA、HA的垂线、HP三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：

A（$\sqrt{2}，0，0$），B（$-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{3\sqrt{2}}{2}$，0），C（$-\frac{3\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}，0$），D（$-\sqrt{2}$，0，0），P（0，0，2）；
∴$\overrightarrow{PA}=（\sqrt{2}，0，-2）$，$\overrightarrow{PB}=（-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{3\sqrt{2}}{2}，-2）$，$\overrightarrow{PC}$=（$-\frac{3\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}，-2$）；
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，则：$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{PC}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{3\sqrt{2}}{2}y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=-\frac{3\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y-2z=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-y}\\{z=\sqrt{2}y}\end{array}\right.$，取y=1，则$\overrightarrow{n}=（-1，1，\sqrt{2}）$；
设直线PA和平面PBC所成角为θ，则：
sinθ=|cos$＜\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{n}＞$|=$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}•2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴θ=60°；
∴直线PA与平面PBC所成角的大小为60°．

点评 考查线面平行及面面平行的判定定理，面面平行的性质，等腰三角形的中线也是高线，线面垂直的判定定理，线面垂直的性质，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的方法，能求空间点的坐标，平面法向量的概念及求法，向量夹角余弦的坐标公式．