Question

5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$，（n≥2）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，对于任意的n∈N^*都有λT_n＜n+8，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时，a_n=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$，可得S_n-S_n-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$，化为$\sqrt{{S}_{n}}-\sqrt{{S}_{n-1}}$=1，利用等差数列的通项公式可得S_n，代入已知即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂项求和”可得数列{b_n}的前n项和T_n．对于任意的n∈N^*都有λT_n＜n+8，化为λ＜$2n+\frac{8}{n}$+17．再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵当n≥2时，a_n=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$，
∴S_n-S_n-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$，
∵$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$≠0，
∴$\sqrt{{S}_{n}}-\sqrt{{S}_{n-1}}$=1，
∴数列$\{\sqrt{{S}_{n}}\}$是等差数列，首项为1，公差为1，
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=1+（n-1）=n，
∴S_n=n²．
∴n≥2时，a_n=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$=n+n-1=2n-1，
当n=1时上式也成立，
∴a_n=2n-1．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．
∵对于任意的n∈N^*都有λT_n＜n+8，
∴$\frac{λn}{2n+1}＜n+8$，
∴λ＜$2n+\frac{8}{n}$+17．
∵$2n+\frac{8}{n}$$≥2×2\sqrt{n×\frac{4}{n}}$=8，当且仅当n=2时取等号．
∴λ＜25．
∴实数λ的取值范围是（-∞，25）．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推式的应用、“裂项求和”方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．