Question

15．已知直线l₁，l₂过椭圆$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{{\frac{4}{3}}}$=1的中心且相互垂直的两条直线，分别交椭圆于A，B，C，D，四边形ABCD的面积的最小值是（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． $\frac{8\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{16\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 讨论当直线l₁的斜率不存在，直线l₂斜率为0，求得四边形ABCD的面积为$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，当直线l₁、l₂的斜率存在时，设直线l₁：y=kx，直线l₂：y=-$\frac{1}{k}$x，代入椭圆方程，分别求得交点坐标，由两点距离公式，可得AB，CD的长，求得四边形ABCD的面积，通过换元法，结合配方和二次函数的最值，即可得到最小值4．

解答 解：当直线l₁的斜率不存在，直线l₂斜率为0，
即有四边形ABCD的面积为S=$\frac{1}{2}$•2a•2b=2ab=2×2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$；
当直线l₁、l₂的斜率存在时，设直线l₁：y=kx，直线l₂：y=-$\frac{1}{k}$x，
将直线y=kx代入椭圆方程，可得x²=$\frac{4}{1+3{k}^{2}}$，y²=$\frac{4{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，
即有|AB|=2$\sqrt{\frac{4+4{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}}$，
同理可得|CD|=2$\sqrt{\frac{4+4•（-\frac{1}{k}）^{2}}{1+3•（-\frac{1}{k}）^{2}}}$=2$\sqrt{\frac{4+4{k}^{2}}{3+{k}^{2}}}$，
即有四边形ABCD的面积为S=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{\frac{4+4{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}}$•2$\sqrt{\frac{4+4{k}^{2}}{3+{k}^{2}}}$=8$\sqrt{\frac{（1+{k}^{2}）^{2}}{3{k}^{4}+10{k}^{2}+3}}$，
令1+k²=t（t＞1），则S=8$\sqrt{\frac{{t}^{2}}{3{t}^{2}+4t-4}}$=8$\sqrt{\frac{1}{3+\frac{4}{t}-\frac{4}{{t}^{2}}}}$=8$\sqrt{\frac{1}{-4（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）^{2}+4}}$，
当$\frac{1}{t}$=$\frac{1}{2}$，即t=2时，S取得最小值，且为8×$\frac{1}{2}$=4．
由4＜$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，可得四边形ABCD的最小值为4．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，联立直线方程，求交点，考查运算能力，属于中档题．