Question

20．已知F₁（-c，0），F₂（c，0）分别是椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）过椭圆右焦点F₂作直线l交椭圆M于A，B两点．
①当直线l的斜率为1时，求线段AB的长；
②若椭圆M上存在点P，使得以OA，OB为邻边的四边形OAPB为平行四边形（O为坐标原点），求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）①设直线l：y=x-$\sqrt{3}$，代入椭圆方程，求出方程的根，即可求线段AB的长；
②假设椭圆上存在点P（m，n），使得以OA、OB为邻边的四边形OAPB为平行四边形．设直线方程为y=k（x-$\sqrt{3}$），代入椭圆方程，运用韦达定理，结合$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，则m=x₁+x₂，n=y₁+y₂，求得P的坐标，代入椭圆方程，即可得到k，即可判断P的存在和直线的方程．

解答 解：（1）由题意，c=$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a=2，b=1，
∴椭圆M的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）①可设直线方程为y=x-$\sqrt{3}$
代入椭圆方程可得5x²-8$\sqrt{3}$x+8=0
∴x=$\frac{4\sqrt{3}±2\sqrt{2}}{5}$
∴弦AB的长为$\sqrt{2}×\frac{4\sqrt{2}}{5}$=$\frac{8}{5}$；
②假设椭圆上存在点P（m，n），使得以OA、OB为邻边的四边形OAPB为平行四边形．
设直线方程为y=k（x-$\sqrt{3}$），代入椭圆方程，可得（1+4k²）x²-8$\sqrt{3}$k²x+12k²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，则m=x₁+x₂，n=y₁+y₂，
x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂-2$\sqrt{3}$）=k（$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$-2$\sqrt{3}$）=$\frac{-2\sqrt{3}k}{1+4{k}^{2}}$，
即有P（$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{-2\sqrt{3}k}{1+4{k}^{2}}$），
代入椭圆方程可得$\frac{48{k}^{4}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}+\frac{12{k}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}$=1，
解得k²=$\frac{1}{8}$，解得k=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故存在点P（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{\sqrt{6}}{6}$），或（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{\sqrt{6}}{6}$），
则有直线l：y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x-$\frac{\sqrt{6}}{4}$或y=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x+$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查离心率公式和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．