Question

8．如图，已知边长为2的菱形ABCD与菱形ACEF全等，且∠FAC=∠ABC，平面ABCD⊥平面ACEF，点G为CE的中点．
（Ⅰ）求证：AE∥平面DBG；
（Ⅱ）求证：FC⊥BG；
（Ⅲ）求三棱锥E-BGD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AE∥平面DBG，可利用线面平行的判断，连结OG，由题意证明OG为三角形△ACE的中位线，则结论得到证明；
（Ⅱ）要证明FC⊥BG，可证明CF⊥平面BGD，由四边形ABCD是菱形，得AC⊥BD．再由平面ABCD⊥平面ACEF，利用面面垂直的性质得到BD⊥平面ACEF，进一步得到BD⊥CF，然后结合线面垂直的判断证得CF⊥平面BGD；
（Ⅲ）由题知，AB=BC=AC=2，故∠ABC=60°，然后通过解三角形得到△FCA是等边三角形，得到$CF=2，AE=2\sqrt{3}$，进一步得到S_△BGD，再求出点C到面BDG的距离，利用等积法由V_E-BDG=V_A-BDG=V_C-BDG得答案．

解答 （Ⅰ）证明：连结OG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CO=OA，又CG=GE，
∴OG为三角形△ACE的中位线，则OG∥AE．
又OG?平面DBE，AE?平面DBE，∴AE∥平面DBE；
（Ⅱ）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
又平面ABCD⊥平面ACEF，且交线为AC，∴BD⊥平面ACEF，
又∵FC?平面ACEF，∴BD⊥CF
∵在菱形ACEF中，AE⊥CF，OG∥AE，∴OG⊥CF，
∵BD∩OG=O，BD，OG?平面BGD，∴CF⊥平面BGD，则CF⊥BG；
（Ⅲ）解：由题知，AB=BC=AC=2，故∠ABC=60°，
在三角形DAB中，AD=AB=2，∠DAB=120°，∴BD=$2\sqrt{3}$．
又∠ABC=∠FAC，∴∠FAC=60°，则△FCA是等边三角形，
∴$CF=2，AE=2\sqrt{3}$，
∴${S_{△BDG}}=\frac{1}{2}BD•OG=3$，
又CF⊥面BDG，∴点C到面BDG的距离$h=\frac{1}{4}CF=\frac{1}{2}$，
故${V_{E-BDG}}={V_{A-BDG}}={V_{C-BDG}}=\frac{1}{3}{S_{△BDG}}•h=\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．