Question

16．已知数列{a_n}的各项为正值且首项为1，a₂=2，S_n为其前n项和．函数f（x）=a_n•a_n+2x+a²_n+1cosx在x=$\frac{π}{2}$处的切线平行于x轴．
（1）求a_n和S_n．
（2）设b_n=log₂a_n+1，数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和为T_n，求证：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系，判断数列为等比数列，求出公比即可求a_n和S_n．
（2）求出b_n=log₂a_n+1的表达式，利用裂项法进行求和，即可证明不等式．

解答 解：（1）由f（x）=a_n•a_n+2x+a²_n+1cosx知f′（x）=a_n•a_n+2-a²_n+1sinx，
∵f（x）=a_n•a_n+2x+a²_n+1cosx在x=$\frac{π}{2}$处的切线平行于x轴，
∴f′（$\frac{π}{2}$）=0，
即a_n•a_n+2-a²_n+1sin$\frac{π}{2}$=a_n•a_n+2-a²_n+1=0，
即a_n•a_n+2=a²_n+1，
∴{a_n}是等比数列，公比q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=2$，
∴a_n=a₁q^n-1=2^n-1，${S}_{n}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}=\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
（2）由（1）知a_n+1=2ⁿ，
∴b_n=log₂a_n+1=log₂2ⁿ=n．
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
∴T_n=$1-\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+$$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1，

点评 本题主要考查数列通项公式和前n项和的计算，以及数列求和，利用裂项法是解决本题的关键．