Question

7．已知p：0≤2^x-1≤7，q：x²-（2a+3）x+a²+3a≤0（a为常数），
（Ⅰ）若p是q的充要条件，求a的值；
（Ⅱ）若￢q是p的必要不充分条件，求a的范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出两个不等式的等价条件，根据若p是q的充要条件，建立方程关系即可求a的值；
（Ⅱ）求出￢q，根据￢q是p的必要不充分条件，建立不等式关系即可．

解答 解：（I）解不等式0≤2^x-1≤7，
即1≤2^x≤8，
得p：0≤x≤3，
解不等式x²-（2a+3）x+a²+3a≤0（a为常数），
得q：a≤x≤a+3，
若p是q的充要条件，则a=0．
（II）∵p：0≤x≤3，￢q：x＞a+3或x＜a，
∴若￢q是p的必要不充分条件，
则a＞3或a+3＜0
解得a＞3或a＜-3，
即a的范围a＞3或a＜-3．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的应用和判断，比较基础．