Question

19．已知：P，Q是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上两点，O为椭圆中心，OP⊥OQ，求证：
（1）$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$；
（2）O到直线PQ的距离为定值．

Answer 1

分析 （1）通过设OP方程、OQ方程，分别与椭圆方程联立，利用两点间距离公式计算即得结论；
（2）通过O到直线PQ的距离d即为△POQ斜边上的高，计算即得结论．

解答 证明：（1）设OP方程为：y=kx（k≠0），
则OQ方程为：y=-$\frac{1}{k}$x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，可得：${{x}_{P}}^{2}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{k}^{2}{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴|OP|²=（1+k²）•${{x}_{P}}^{2}$=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}（1+{k}^{2}）}{{a}^{2}{k}^{2}+{b}^{2}}$，
同理可得：|OQ|²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}（1+{k}^{-2}）}{{k}^{-2}{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}{b}^{2}+{a}^{2}}$，
于是$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}{k}^{2}+{b}^{2}+{a}^{2}+{b}^{2}{k}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}（1+{k}^{2}）}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$；
（2）O到直线PQ的距离d即为△POQ斜边上的高，
∴d=$\frac{|OP|•|OQ|}{|PQ|}$=$\sqrt{\frac{|OP{|}^{2}•|OQ{|}^{2}}{|PQ{|}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{|OP{|}^{2}•|OQ{|}^{2}}{|OP{|}^{2}+|OQ{|}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}}$（定值）．

点评 本题考查椭圆的简单性质，涉及到两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．