Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），两个焦点分别为F₁，F₂．
（1）若|F₁F₂|=2，点P在椭圆上，且△PF₁F₂的周长为6，求椭圆C的方程；
（2）动圆Γ：x²+y²=R²，其中b＜R＜a，若A是椭圆C上的动点，B是动圆Γ上的动点，且直线AB与椭圆C和动圆Γ均相切，求A、B两点的距离|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得2c=2，2a+2c=6，又b²=a²-c²，解得即可得出；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为：y=kx+m，则y₁=kx₁+m，代入椭圆方程化为（a²k²+b²）${x}_{1}^{2}$+2kma²x₁+a²（m²-b²）=0，直线AB与椭圆C相切，可得△=0，化为m²=b²+a²k²，${x}_{1}=-\frac{k{a}^{2}}{m}$．同理B是动圆Γ上的动点，且直线AB与动圆Γ相切，可得m²=R²（1+k²），${x}_{2}=-\frac{k{R}^{2}}{m}$，利用|AB|²=$（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$+$（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}$=（a-b）²-$（R-\frac{ab}{R}）^{2}$，即可得出．

解答 解：（1）∵|F₁F₂|=2，点P在椭圆上，且△PF₁F₂的周长为6，
∴2c=2，2a+2c=6，又b²=a²-c²，
解得c=1，a=2，b²=3，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为：y=kx+m，则y₁=kx₁+m，$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
化为（a²k²+b²）${x}_{1}^{2}$+2kma²x₁+a²（m²-b²）=0，
∵直线AB与椭圆C相切，可得△=（2kma²）²-4（a²k²+b²）a²（m²-b²）=0，
化为m²=b²+a²k²，${x}_{1}=-\frac{k{a}^{2}}{m}$．
同理B是动圆Γ上的动点，且直线AB与动圆Γ相切，可得m²=R²（1+k²），${x}_{2}=-\frac{k{R}^{2}}{m}$，
化为k²=$\frac{{R}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}-{R}^{2}}$，x₂-x₁=$\frac{k（{a}^{2}-{R}^{2}）}{m}$．
∴|AB|²=$（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$+$（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}$=$（1+{k}^{2}）（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}$
=$\frac{（1+{k}^{2}）{k}^{2}（{a}^{2}-{R}^{2}）^{2}}{{m}^{2}}$=$\frac{（{a}^{2}-{R}^{2}）（{R}^{2}-{b}^{2}）}{{R}^{2}}$
=a²+b²-R²-$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{R}^{2}}$=（a-b）²-$（R-\frac{ab}{R}）^{2}$≤（a-b）²，
即|AB|≤a-b，当且仅当R=$\sqrt{ab}$时取等号．
∴A、B两点的距离|AB|的最大值为a-b．

点评 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及其圆相切问题转化为方程联立可得△=0及其根与系数的关系、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．