Question

12．如图：设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右两个焦点分别为F₁，F₂，短轴的上端点为B，短轴上的两个三等分点为P，Q，且F₁PF₂Q为正方形，若过点B作此正方形的外接圆的切线在x轴上的一个截距为-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，则此椭圆方程的方程为$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{9}=1$．

Answer 1

分析 根据题意可表示出P的坐标和F₁的坐标，利用正方形的性质推断出$\frac{b}{3}$，根据B的坐标，利用几何关系求得一条切线的斜率，利用点斜式表示出直线的方程，利用截距求得c，进而求得a和b，则椭圆的方程可得．

解答 解：由题意知：P（0，$\frac{b}{3}$），设F₁（-c，0）
因为F₁PF₂Q为正方形，所以c=$\frac{b}{3}$
即b=3c，所以b²=9c²，即a²=10c²，
因为B（0，3c），由几何关系可求得一条切线的斜率为2$\sqrt{2}$，
所以切线方程为y-3c=2$\sqrt{2}$x，即y=2$\sqrt{2}$x+3c，
因为在轴上的截距为-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，所以c=1，
所求椭圆方程为$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{9}=1$．
故答案为：$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{9}=1$．

点评 本题主要考查了椭圆的简单性质，考查椭圆的方程，找到椭圆方程中的a，b和c的关系．