Question

17．已知椭圆C₁与抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点为原点O，从椭圆C₁上取两个点，从椭圆C₂上取一个点，将其坐标记录于表中：

x	$\sqrt{2}$	2	4
y	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	0	4

（1）试判断两个点在C₁上，并求出C₁，C₂的标准方程；
（2）已知直线l：x=my+1与椭圆C₂相交于不同两点M，N，且满足$\overrightarrow{OM}⊥\overrightarrow{ON}$，求参数m的值．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线与椭圆的简单性质判断点的坐标所在曲线，然后求解抛物线方程椭圆方程．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．把直线方程与椭圆的方程联立得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系能求出m的值．

解答 解：（1）因为椭圆与抛物线的中心在原点，焦点坐标在x轴上，所以（2，0）是椭圆上的点，（4，4）是抛物线上的点，（$\sqrt{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$）是椭圆上的点，
设抛物线C₂的方程为：y²=2px，可得16=8p，解得p=2，抛物线C₂的方程为：y²=4x，
设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，可得$\frac{{（\sqrt{2}）}^{2}}{4}+\frac{{（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}}{{b}^{2}}=1$，解得b²=1．
椭圆C₁的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1\end{array}\right.$，得（m²+4）y²+2my-3=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{2m}{{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{3}{{m}^{2}+4}$．
∴x₁x₂=m²y₁y₂+m（y₁+y₂）+1
=$\frac{-3{m}^{2}}{{m}^{2}+4}$+$\frac{-2{m}^{2}}{{m}^{2}+4}$+1
=$\frac{4-4{m}^{2}}{{m}^{2}+4}$．
∵$\overrightarrow{OM}⊥\overrightarrow{ON}$，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\frac{4-4{m}^{2}}{{m}^{2}+4}$=0
解得m=±1．

点评 本题综合考查了：椭圆与抛物线的标准方程及其性质，把直线方程与椭圆的方程联立得到关于y的一元二次方程得到根与系数的关系，直线的垂直与向量的数量积的关系的应用．需要较强的推理能力和计算能力．