Question

5．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC，D，E分别为BB₁，AC₁的中点．
（1）证明：DE⊥平面ACC₁A₁；
（2）设AA₁=AC=$\sqrt{2}$AB，求二面角A₁-AD-C₁的大小．

Answer 1

分析 方法1：（综合法）
（1）设O为AC中点，连结EO，BO，证明EO∥BD，然后证明OB⊥平面ACC₁A₁，推出DE⊥平面ACC₁A₁．
（2）连结A₁E，过点E作EF⊥AD，垂足为F，连结A₁F．说明A₁FE为二面角A₁-AD-C₁的平面角．然后在三角形中求解二面角A₁-AD-C₁的大小为60°．
方法2：（坐标法）
（1）设O为AC中点，以$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OE}$为正交基底建立如图的空间直角坐标系O-xyz，证明$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{ED}=0$，$\overrightarrow{A{A_1}}•\overrightarrow{ED}=0$，推出ED⊥平面ACC₁A₁．
（2）求出平面A₁AD的法向量，平面C₁AD的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A₁-AD-C₁的大小即可．

解答 解：方法1：（综合法）
（1）设O为AC中点，连结EO，BO，则EO∥CC₁，且$EO=\frac{1}{2}C{C_1}$，…（1分）
又CC₁∥BB₁，且CC₁=BB₁，
∴EO∥BD，且EO=BD，即四边形EOBD为平行四边形，
∴ED∥OB，…（3分）
∵AA₁⊥底面ABC，OB?底面ABC，∴AA₁⊥OB，…（4分）
∵AB=BC，O为AC中点，
∴OB⊥AC，又AC∩AA₁=A，…（5分）
∴OB⊥平面ACC₁A₁，故DE⊥平面ACC₁A₁．…（6分）
（2）连结A₁E，过点E作EF⊥AD，垂足为F，连结A₁F．…（7分）
由$A{A_1}=AC=\sqrt{2}AB$可知ACC₁A₁为正方形，则A₁E⊥AC₁，
∵DE⊥平面ACC₁A₁，又A₁E?平面ACC₁A₁，
∴A₁E⊥DE，又AC₁∩DE=E，
∴A₁E⊥平面ADC₁，又AD?平面ADC₁，…（9分）
∴A₁E⊥AD，又EF⊥AD，A₁E∩EF=E，
∴AD⊥平面A₁EF，又A₁F?平面A₁EF，
∴A₁F⊥AD，…（11分）
∴∠A₁FE为二面角A₁-AD-C₁的平面角．         …（12分）
不妨设AA₁=2，则AC=2，$AB=\sqrt{2}$，ED=OB=1，$EF=\frac{AE×ED}{AD}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}$，
∴$tan∠{A_1}FE=\frac{{{A_1}E}}{EF}=\sqrt{3}$，
所以二面角A₁-AD-C₁的大小为60°．             …（14分）
方法2：（坐标法）
（1）设O为AC中点，由AB=BC知OB⊥AC，以$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OE}$为正交基底建立如图的空间直角坐标系O-xyz，
设A（a，0，0），B（0，b，0），E（0，0，c），则A₁（a，0，2c），D（0，b，c），
∴$\overrightarrow{OA}=（a，0，0）$，$\overrightarrow{A{A_1}}=（0，0，2c）$，$\overrightarrow{ED}=（0，b，0）$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{ED}=0$，$\overrightarrow{A{A_1}}•\overrightarrow{ED}=0$，
∴ED⊥OA，ED⊥AA₁，又OA∩AA₁=A，
故ED⊥平面ACC₁A₁．

（2）由$A{A_1}=AC=\sqrt{2}AB$不妨设A（1，0，0），
则B（0，1，0），C（-1，0，0），E（0，0，1），A₁（1，0，2），D（0，1，1），
∴$\overrightarrow{BC}=（-1，-1，0）$，$\overrightarrow{AB}=（-1，1，0）$，$\overrightarrow{A{A_1}}=（0，0，2）$，
∴$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AB}=0$，$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{A{A_1}}=0$，即BC⊥AB，BC⊥AA₁，又AB∩AA₁=A，

∴BC⊥平面A₁AD，故平面A₁AD的法向量可取$\overrightarrow{BC}=（-1，-1，0）$．
又$\overrightarrow{EC}=（-1，0，-1）$，$\overrightarrow{AE}=（-1，0，1）$，$\overrightarrow{ED}=（0，1，0）$，
∴$\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{AE}=0$，$\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{ED}=0$，即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED=E，

∴EC⊥平面C₁AD，故平面C₁AD的法向量可取$\overrightarrow{EC}=（-1，0，-1）$．
∵$cos＜\overrightarrow{EC}，\overrightarrow{BC}＞=\frac{{\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{BC}}}{{|\overrightarrow{EC}||\overrightarrow{BC}|}}=\frac{1}{{\sqrt{2}×\sqrt{2}}}=\frac{1}{2}$，
∴所以二面角A₁-AD-C₁的大小为60°．…（14分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理，二面角的平面角的求法，考查几何法与向量法的应用，考查空间想象能力以及计算能力．