Question

16．如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=4，底面ABCD是边长为4的正方形，若M为PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BDM；
（2）求三棱锥P-BCD的体积；
（3）在AB上是否存在一个点N，使MN⊥平面PCD，若存在，试确定N的位置；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在平面BDM内找与PA平行的直线即可；
（2）取AD的中点Q，证明PQ⊥平面ABCD，利用体积公式，求三棱锥P-BCD的体积；
（3）N为AB中点时，MN⊥平面PCD，利用线面垂直的评定定理，即可得出结论．

解答 （1）证明：AC与BD的交点O，连结MO，
∵底面ABCD为矩形，
∴O为AC的中点，
又M是AC的中点，
∴MO∥PA，
又PA?平面BDM，MO?平面BDM，
∴PA∥平面BDM；
（2）解：取AD的中点Q，
∵PA=PD，
∴PQ⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD，
∵PA=PD=AD=4，
∴PQ=2$\sqrt{3}$，
∵底面ABCD是边长为4的正方形，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}×4×4$=8，
∴V_P-BCD=$\frac{1}{3}×8×2\sqrt{3}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$；
（3）解：N为AB中点时，MN⊥平面PCD，
N为AB中点时，取PD的中点R，连接MN，MR，AR，
∴RM∥$\frac{1}{2}$DC，AN∥$\frac{1}{2}DC$，
∴RM∥AN且RM=AN，
∴四边形ANMR是平行四边形，
∴AR∥NM，
由（2）PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥CD，
∵CD⊥AD，PQ∩AD=Q，
∴CD⊥平面PAD，
∵AR?平面PAD，∴CD⊥AR，
∴PA=PD=AD=4，R为PD的中点，
∴AR⊥PD，
∴AR⊥平面PCD，
∵AR∥NM，
∴MN⊥平面PCD，
∴N为AB中点时，MN⊥平面PCD．

点评 本题主要考查线面垂直的判定与性质，线面平行的判定与性质，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．