Question

8．已知：命题p：椭圆$\frac{{x}^{2}}{m+1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1的焦点在x轴上，命题q：不等式x²+2xy≤m（2x²+y²）对于一切整数x，y恒成立．
（1）若p为假命题，求实数m的取值范围；
（2）若p∧q是假命题，p∨q是真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过椭圆的焦点在x轴上为假命题，求出m的范围，
（2）求出q为真命题时m的范围，由p∧q是假命题，p∨q是真命题，得到p，q一真一假，求出m的交集即可．

解答 解：（1）∵依题意，要使方程$\frac{{x}^{2}}{m+1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1是椭圆的方程，则$\left\{\begin{array}{l}m+1＞0\\ 2-m＞0\\ 2-m≠m+1\end{array}\right.$，解得-1＜m＜2且m≠$\frac{1}{2}$，
又命题p：椭圆$\frac{{x}^{2}}{m+1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1的焦点在x轴上时，$\left\{\begin{array}{l}{m+1＞0}\\{2-m＞0}\\{m+1＞2-m}\end{array}\right.$解得$\frac{1}{2}$＜m＜2，
所以，命题p为假命题时，-1＜m＜$\frac{1}{2}$，
（2）∵q：不等式x²+2xy≤m（2x²+y²）对于一切整数x，y恒成立
∴m≥$\frac{{x}^{2}+2xy}{2{x}^{2}+{y}^{2}}$，
∵$\frac{{x}^{2}+2xy}{2{x}^{2}+{y}^{2}}$≤$\frac{{x}^{2}+{x}^{2}+{y}^{2}}{2{x}^{2}+{y}^{2}}$=1，
∴m≥1
∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，
∴p，q一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜m＜\frac{1}{2}}\\{m≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}＜m＜2}\\{m＜1}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{2}$＜m＜1，
实数m的取值范围是（$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查不等式恒成立问题，椭圆的简单性质，命题的真假的判断，是综合性比较高的问题，考查转化思想以及计算能力．