Question

3．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-1，0）且点P（0，1）在C₁上．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设直线l同时与椭圆C₁和抛物线C₂：y²=4x相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）因为椭圆C₁的左焦点为F₁（-1，0），所以c=1，点P（0，1）代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，得b=1，由此能求出椭圆C₁的方程；
（2）设直线l的方程为y=kx+m，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．因为直线l与椭圆C₁相切，所以△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0．再由直线和抛物线相切，联立方程，运用判别式为0，由此能求出直线l的方程．

解答 解：（1）因为椭圆C₁的左焦点为F₁（-1，0），所以c=1，
点P（0，1）代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，得$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，即b=1，
所以a²=b²+c²=2，
所以椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）直线l的斜率显然存在，
设直线l的方程为y=kx+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，消去y并整理得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
因为直线l与椭圆C₁相切，
所以△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0
整理得2k²-m²+1=0①
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，消去y并整理得k²x²+（2km-4）x+m²=0，
因为直线l与抛物线C₂相切，所以△=（2km-4）²-4k²m²=0，
整理得km=1②
综合①②，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{m=\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{m=-\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
所以直线l的方程为y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\sqrt{2}$或y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．