Question

18．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点是（-$\sqrt{3}$，0）、（$\sqrt{3}$，0），且椭圆经过点（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P（0，4），M、N是椭圆C上关于y轴对称的任意两个不同的点，连接PN交椭圆C于另一点E，证明：直线ME与y轴相交于定点．

Answer 1

分析 （1）由题意可得c，再由点满足方程和a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；
（2）设N（x₁，y₁）、E（x₂，y₂）、M（-x₁，y₁），直线PN的方程为y=kx+4，代入椭圆方程，运用韦达定理，求得直线ME的方程，再令x=0，化简整理，即可得到定点坐标．

解答 解：（1）椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），c=$\sqrt{3}$，
即有a²-b²=3，
椭圆经过点（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），则$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{2}}{{b}^{2}}$=1，
解得a=2，b=1，
所以所求椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；             
（2）证明：设N（x₁，y₁）、E（x₂，y₂）、M（-x₁，y₁），
直线PN的方程为y=kx+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+4}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$ 得（1+4k²）x²+32kx+60=0，
x₁+x₂=$\frac{-32k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{60}{1+4{k}^{2}}$，
则直线ME：y-y₁=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$（x+x₁）
当x=0时，y=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$•x₁+y₁=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}（k{x}_{2}+4）+{x}_{2}（k{x}_{1}+4）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$
=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}+4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{120}{-32}$+4=$\frac{1}{4}$，
所以直线ME与y轴相交于定点（0，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．