Question

9．设f（x）是定义在R上恒不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=f（n）（n∈N^*），则数列{a_n}的前n项和S_n=1-${（\frac{1}{2}）}^{n}$．

Answer 1

分析 根据函数的关系式，求出数列{a_n}的通项公式，判断数列是等比数列，求出它的前n项和S_n．

解答 解：令y=x，f（x）•f（x）=f（2x），
∴f（2x）=[f（x）]²，x∈R；
又a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=f（n）（n∈N^*），
∴a₁=f（1）=$\frac{1}{2}$，
a_n=f（n）=[f（1）]ⁿ=${（\frac{1}{2}）}^{n}$；
∴数列{a_n}是首项为a₁=$\frac{1}{2}$，公比q=$\frac{1}{2}$的等比数列，
其前n项和为S_n=$\frac{\frac{1}{2}（1{-（\frac{1}{2}）}^{n}）}{1-\frac{1}{2}}$=$1-{（\frac{1}{2}）^n}$．
故答案为：1-${（\frac{1}{2}）}^{n}$．

点评 本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了等比数列的定义与通项公式、前n项和公式的应用问题，是综合性题目．