Question

4．在如图所示四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方式，PA=AB=1，E是PD上的点，PB∥平面AEC，
（Ⅰ）确定点E的位置并证明AE⊥PC
（Ⅱ）求三棱锥P-AEC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，利用线面平行的性质，可得点E的位置；利用直线与平面垂直的判定，证明AE⊥PC
（Ⅱ）利用体积公式求三棱锥P-AEC的体积．

解答 解：（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，
因为PB∥平面AEC，平面PBD∩平面ACE=OE，
所以EO∥PB，
因为O为BD中点，
所以E为PD中点；
因为E为PD的中点，PA=AB=AD，
所以AE⊥PD，
因为PA⊥底面ABCD，
所以PA⊥CD，
因为CD⊥AD∩AD=A，
所以CD⊥平面PAD，
所以AE⊥平面PCD，
所以AE⊥PC
（Ⅱ）三棱锥P-AEC的体积=$\frac{1}{2}$V_P-ACD=$\frac{1}{4}{V}_{P-ABCD}$=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×PA×AB×AD$=$\frac{1}{12}$．

点评 本题考查直线与平面平行的性质，直线与平面垂直的判定，考查三棱锥P-AEC的体积，考查学生的逻辑思维能力，是中档题．