Question

19．已知点M（$\sqrt{3}$，2）是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上的一点，MF₂垂直于x轴，F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，A₁，A₂分别为椭圆的左、右顶点
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）动直线l：x=my+1与椭圆C交于P、Q两点，直线A₁P与直线A₂Q交于点S，当直线l变化时，点S是否在一条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据过右焦点F₂且垂直于x轴的直线与椭圆C在第一象限的交点为M（$\sqrt{3}$，2），可得∴$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{a}^{2}-3}$=1，求出a²=9，b²=a²-c²=6，从而可得椭圆C的方程；
（2）利用特殊位置猜想结论，再进行一般性的证明．将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理可以证明．

解答 解：（1）∵过右焦点F₂且垂直于x轴的直线与
椭圆C在第一象限的交点为M（$\sqrt{3}$，2）．
∴c=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=a²-3．
∵点M（$\sqrt{3}$，2在椭圆上，
∴$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{a}^{2}-3}$=1，
∴3a²-9+4a²=a⁴-3a²
∴a⁴-10a²+9=0，∴（a²-9）（a²-1）=0，
∴a²=9或a²=1＜c²（舍去）．
∴b²=a²-c²=6．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1；
（2）当l⊥x轴时，P（1，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），Q（1，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），又A₁（-3，0），A₂（3，0）
A₁P的方程：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+3），A₂Q的方程：y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（x-3），
联立解得S（9，4$\sqrt{3}$）．
当l过椭圆的上顶点时，y=$\sqrt{6}$-$\sqrt{6}$x，P（0，$\sqrt{6}$），Q（ $\frac{9}{5}$，-$\frac{4\sqrt{6}}{5}$）
A₁P的方程：y=$\frac{\sqrt{6}}{3}$（x+3），A₂Q的方程：y=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$（x-3），联立解得S（9，4$\sqrt{6}$）．
若定直线存在，则方程应是x=9．
下面给予证明．
把x=my+1代入椭圆方程，整理得（2m²+3）y²+4my-16=0，
△＞0成立，记P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y₁+y₂=$\frac{-4m}{3+2{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-16}{3+2{m}^{2}}$．
A₁P：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+3}$（x+3），A₂Q的方程：y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-3}$（x-3），
当x=9时，纵坐标y应相等，$\frac{12{y}_{1}}{{x}_{1}+3}$=$\frac{6{y}_{2}}{{x}_{2}-3}$，须$\frac{12{y}_{1}}{m{y}_{1}+4}$=$\frac{6{y}_{2}}{m{y}_{2}-2}$，
须2y₁（my₂-2）=y₂（my₁+4），须my₁y₂=4（y₁+y₂）
∵y₁+y₂=$\frac{-4m}{3+2{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-16}{3+2{m}^{2}}$．
∴m•$\frac{-16}{3+2{m}^{2}}$=4•$\frac{-4m}{3+2{m}^{2}}$成立．
综上，定直线方程为x=9．

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查探究性问题，解题的关键是利用特殊位置猜想结论，再进行证明．