Question

4．已知函数f（x）=$\frac{{{e^x}-{e^{-x}}}}{2}，g（x）=\frac{{{e^x}+{e^{-x}}}}{2}$（其中e=2.71718…），有下列命题：
①f（x）是奇函数，g（x）是偶函数；
②对任意x∈R，都有f（2x）=f（x）•g（x）；
③f（x）有零点，g（x）无零点．
其中正确的命题是①③．（填上所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 直接由函数奇偶性的定义判断①正确；代值验证②错误；先判断函数单调性，g（x）有最小值；直接求出f（x）的零点，由单调性及奇偶性和最值说明g（x）无零点．

解答 解：f（-x）=$\frac{1}{2}$（e^-x-e^x）=-$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）=-f（x），故f（x）为奇函数，
g（-x）=$\frac{1}{2}$（e^-x+e^x）=g（x），故g（x）为偶函数，故命题①正确，
f（2x）=$\frac{1}{2}$（e^2x-e^-2x）=$\frac{1}{2}$（e^x+e^-x）（e^x-e^-x），
f（x）•g（x）=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）$\frac{1}{2}$（e^-x+e^x）=$\frac{1}{4}$（e^x+e^-x）（e^x-e^-x），故命题②不正确；
函数y=e^x，y=-e^-x在实数集上均为增函数，
∴f（x）在R上单调递增，
设x₁＜x₂＜0，
则g（x₁）-g（x₂）=$\frac{1}{2}$（e^x₁+e^-x₁）-$\frac{1}{2}$（e^x₂+e^-x₂）=$\frac{1}{2}$[（e^x₁-e^x₂）+（1-$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}}$）]，
∵x₁＜x₂＜0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂）．
g（x）在（-∞，0）上单调递减，
当x=0时，g（x）有最小值1，且函数是偶函数，
∴g（x）无零点，
由f（x）=0，即$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）=0，得x=0，
∴f（x）有零点0，故命题③正确．
故答案为：①③．

点评 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数的性质，是中档题．