Question

16．已知O是坐标原点，A（1，-1），B（1，-2），C（1，0），P（x，y）是平面内任一点，不等式组$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OA}≥0\\ \overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OB}≤0\\ \overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OC}≤1\end{array}\right.$解集表示的平面区域为E，若?（x，y）∈E，都有2x+y≤S，则S的最小值为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根据数量积的定义将不等式组进行化简，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求z=2x+y的最大值即可．

解答 解：∵A（1，-1），B（1，-2），C（1，0），
∴不等式组$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OA}≥0\\ \overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OB}≤0\\ \overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OC}≤1\end{array}\right.$等价为$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x-2y≤0}\\{x≤1}\end{array}\right.$，
作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=2x+y得y=-2x+z，
平移直线y=-2x+z，
由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最大，
此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x-y=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（1，1），
代入目标函数z=2x+y得z=2+1=3．
即目标函数z=2x+y的最大值为3．
若若?（x，y）∈E，都有2x+y≤S，
则S≥3，
则S的最小值为3，
故选：D．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．