Question

1．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=5，S₉=99．
（1）求a_n 及S_n；
（2）若数列{$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}-1}$}的前n项和T_n，试证明不等式$\frac{1}{2}$≤T_n＜1成立．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，运用通项公式和求和公式，列方程，即可解得首项和公差，进而得到通项和求和；
（2）化简数列b_n=$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}-1}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，运用相互抵消求和可得T_n，再由数列的单调性和不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₂=5，S₉=99．∴a₁+d=5，9a₁+$\frac{9×8}{2}$d=99，
解得a₁=3，d=2，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，S_n=3n+$\frac{1}{2}$n（n-1）•2=n²+2n；           
（2）证明：设b_n=$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}-1}$，∵a_n=2n+1，∴a_n²-1=4n（n+1），
∴b_n=$\frac{4}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
即有T_n=b₁+b2+b₃+…+b_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=1-$\frac{1}{n+1}$＜1，
又T_n=1-$\frac{1}{n+1}$为递增数列，即有T_n≥T₁=1-$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
综上所述：不等式$\frac{1}{2}$≤T_n＜1成立．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．