Question

1．如果椭圆$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是x+2y-8=0．

Answer 1

分析 若设弦的端点为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），代入椭圆方程得9x₁²+36y₁²=36×9①，9x₂²+36y₂²=36×9②；作差①-②，并由中点坐标公式，可得直线斜率k，从而求出弦所在的直线方程．

解答 解：设弦的端点为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，得
9x₁²+36y₁²=36×9①，9x₂²+36y₂²=36×9②；
①-②，得9（x₁+x₂）（x₁-x₂）+36（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0；
由中点坐标$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=4，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=2，代入上式，得
36（x₁-x₂）+72（y₁-y₂）=0，
∴直线斜率为k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$，
所求弦的直线方程为：y-2=-$\frac{1}{2}$（x-4），
即x+2y-8=0．
故答案为：x+2y-8=0．

点评 本题考查了圆锥曲线的中点坐标公式，通过作差的方法，求得直线斜率k的应用模型，属于中档题．