Question

8．已知直线l：3x+4y+3=0和圆C：x²+y²-2x-2y+1=0．
（Ⅰ）判断直线l与圆C的位置关系；
（Ⅱ）若P是直线l上的动点，PA是圆C的一条切线，A是切点，求三角形PAC的面积S的最小值．

Answer 1

分析 （I）判断圆心C（1，1）到直线l：3x+4y+3=0的距离为d＞r，即可判断；
（II）由切线的性质可知，PA⊥AC，若使得$PA=\sqrt{P{C}^{2}-1}$取得最小值，则只要PA取得最小值，即可求解

解答 解：圆C：x²+y²-2x-2y+1=0化为标注方程为：（x-1）²+（y-1）²=1，圆心坐标为C（1，1），半径为r=1
（I）∵圆心C（1，1）到直线l：3x+4y+3=0的距离为d=$\frac{|3×1+4×1+3|}{5}$=2＞r
∴直线l与圆相离；
（II）由切线的性质可知，PA⊥AC，且AC=1
∴$PA=\sqrt{P{C}^{2}-1}$
当PC⊥l时，PC取得最小值2
∴PA的最小值为$\sqrt{3}$
此时，△PAC面积取得最小值S_△PAC=$\frac{1}{2}PA×AC$=$\frac{1}{2}PA$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$

点评 本题主要考查直线与圆的位置关系，在求直线上点与已知点的距离的最小值时，常转化为求点到直线的距离．