Question

8．已知等差数列{a_n}的前n项和S_n满足S₃=6，S₅=$\frac{25}{2}$．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（II）求数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （I）通过S₃=6，S₅=$\frac{25}{2}$，计算即得结论；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）知$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$，利用错位相减法计算T_n-$\frac{1}{2}$T_n，计算即得结论．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，则S_n=$n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}d$，
∵S₃=6，S₅=$\frac{25}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+3d=6}\\{5{a}_{1}+10d=\frac{25}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=\frac{3}{2}}\\{d=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴{a_n}的通项公式为：a_n=$\frac{1}{2}$n+1；
（Ⅱ）设求数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n项和为T_n，
由（Ⅰ）知$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$，
则：T_n=3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+4•$\frac{1}{{2}^{3}}$+5•$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+（n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+（n+2）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}$T_n=3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+4•$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+（n+1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$+（n+2）•$\frac{1}{{2}^{n+2}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{3}{4}$+（$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$）-（n+2）•$\frac{1}{{2}^{n+2}}$=$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-$\frac{n+2}{{2}^{n+2}}$，
∴T_n=2-$\frac{n+4}{{2}^{n+1}}$．

点评 本题考查求数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．