Question

4．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：
①B，E，F，C四点共面； 
②直线BF与AE异面；
③直线EF∥平面PBC； 
④平面BCE⊥平面PAD；．
⑤折线B→E→F→C是从B点出发，绕过三角形PAD面，到达点C的一条最短路径．
其中正确的有①②③．（请写出所有符合条件的序号）

Answer 1

分析 首先可根据几何体的平面展开图画出其直观图，然后根据中位线的性质，两条平行直线可确定一个平面，异面直线的概念，线面平行的判定定理，二面角的平面角的定义及求法，即可判断每个结论的正误，而对于结论⑤，可画出该几何体沿底面正方形的边，及侧棱PD剪开后所得的平面展开图，由该展开图即可求出从B点出发，绕过平面PAD，到达点C的最短距离，从而判断出该结论的正误．

解答 解：根据几何体的平面展开图，画出它的直观图如下：
①根据已知，EF∥AD∥BC；
∴EF∥BC；
∴B，E，F，C四点共面；
∴该结论正确；
②由图可看出BF和AE异面；
∴该结论正确；
③由①EF∥BC，EF?平面PBC，BC?平面PBC；
∴EF∥平面PBC；
∴该结论正确；
④分别取AD，EF，BC的中点G，H，M，并连接GH，HM，MG，则GH⊥EF，HM⊥EF；
而EF是平面BCE和平面PAD的交线；
∴∠GHM为平面BCE与平面PAD形成的二面角的平面角；
若设该几何体的侧棱长为2，则：
GH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，HM=$\frac{\sqrt{11}}{2}$，MG=2；
显然GH²+HM²≠MG²；
∴∠GHM≠90°；
∴平面BCE与平面PAD不垂直；
∴该结论错误；
⑤把该正四棱锥沿底面各边及侧棱PD剪开，得到的展开图如下：

BH⊥PA，∴B到侧棱PA的最短距离为BE，BE=$\sqrt{3}$；
过E作EN⊥PD，则EN是点E到PD的最短距离，且EN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，NP=$\frac{1}{4}$；
而N到C的最短距离便是线段NC的长，NC=$\frac{9}{4}$；
∴从B点出发，绕过PAD面到达C点的最短距离为$\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{9}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{9}{4}$；
而BE+EF+FC=$2\sqrt{3}+1$；
∴该结论错误；
综上得正确的结论为①②③．
故答案为：①②③．

点评 考查中位线的性质，两平行直线可确定一个平面，能根据几何体的平面展开图画出它的直观图，线面平行的判定定理，以及二面角的平面角的概念及求法，将立体图形转变成平面图形解题的方法．