Question

6．已知f（x）=e^1-x，g（x）=ln（t-x），其中e=2.71828…，m为常数，且t∈R．
（1）若h（x）=f（x）-g（x）在（1，h（1））处的切线为y=1-ln（t-1），求t的值并讨论函数h（x）的单调性；
（2）当t≤3时，证明：f（x）＞g（x）．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用h′（1）=-1+$\frac{1}{t-1}$=0，可得t，证明x∈（-∞，1）时，h′（x）＜h′（1），h（x）在（-∞，1）上单调递减，x∈（1，2）时，h′（x）＞h′（1），h（x）在（1，2）上单调递增，可得结论；
（2）当t≤3，x＜t时，ln（t-x）≤ln（3-x），要证明f（x）＞g（x），只要证明f（x）＞ln（3-x）．

解答 （1）解：h（x）=f（x）-g（x）=e^1-x-ln（t-x），h′（x）=-e^1-x+$\frac{1}{t-x}$，
∴h′（1）=-1+$\frac{1}{t-1}$=0，
∴t=2，
∴h′（x）=-e^1-x+$\frac{1}{2-x}$，
令m（x）=-e^1-x+$\frac{1}{2-x}$，则m（x）在（-∞，2）上单调递增，
∴h′（x）在（-∞，2）上单调递增，
∵h′（1）=0，
∴x∈（-∞，1）时，h′（x）＜h′（1），h（x）在（-∞，1）上单调递减，x∈（1，2）时，h′（x）＞h′（1），h（x）在（1，2）上单调递增，
综上，h（x）的单调递减区间为（-∞，1），单调递增区间为（1，2）；
（2）证明：当t≤3，x＜t时，ln（t-x）≤ln（3-x），
要证明f（x）＞g（x），只要证明f（x）＞ln（3-x）．
令F（x）=f（x）-ln（3-x）=e^1-x-ln（3-x），
∴F′（x）=-e^1-x+$\frac{1}{3-x}$在（-∞，3）上单调递增且F′（1）＜0，F′（2）＞0，
∴存在唯一一个x₀∈（1，2），使得F′（x₀）=0
∴-${e}^{1-{x}_{0}}$+$\frac{1}{3-{x}_{0}}$=0，
∴ln（x₀-3）=x₀-1．
x∈（-∞，x₀），F′（x）＜0，x∈（x₀，3），F′（x）＞0
∴F（x）≥F（x₀）=$\frac{1}{3-{x}_{0}}$-（x₀-1）＞0，
∴f（x）＞ln（3-x）．
∴f（x）＞g（x）．

点评 本题考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，正确构造函数，求导数是关键．