Question

4．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．
（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；
（2）将曲线C上的所有点的横坐标缩为原来的$\frac{1}{2}$倍，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C₁，求曲线C₁上的点到直线l放入距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ²=4ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$，可得曲线C的直角坐标方程．直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），两式相减可得：直线l的普通方程．
（2）将曲线C上的所有点的横坐标缩为原来的$\frac{1}{2}$倍，得（2x-2）²+y²=4，即${（{x-1}）^2}+\frac{y^2}{4}=1$．再将所得曲线向左平移1个单位，得C₁：${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$．设曲线C₁上任一点P（cosθ，2sinθ），可得d=$\frac{|cosθ-2sinθ+4\sqrt{5}|}{\sqrt{2}}$，化简即可得出．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ²=4ρcosθ，可得曲线C的直角坐标方程为x²+y²=4x，即 （x-2）²+y²=4．
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），两式相减可得：直线l的普通方程为x-y+4$\sqrt{5}$=0．
（2）将曲线C上的所有点的横坐标缩为原来的$\frac{1}{2}$倍，得（2x-2）²+y²=4，
即${（{x-1}）^2}+\frac{y^2}{4}=1$．
再将所得曲线向左平移1个单位，得C₁：${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$．
又曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），设曲线C₁上任一点P（cosθ，2sinθ），
则d=$\frac{{|cosθ-2sinθ+4\sqrt{5|}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|4\sqrt{5}-\sqrt{5}sin（θ+ϕ）|}}{{\sqrt{2}}}≥\frac{{3\sqrt{10}}}{2}$．（其中$tanφ=-\frac{1}{2}$），
∴点P到直线l的距离的最小值为$\frac{{3\sqrt{10}}}{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、坐标变换、参数方程的应用、点到直线的距离公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．