Question

15．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个顶点是P（0，-1），且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．圆C₂：x²+y²=4，l₁，l₂是过点P且互相垂直的两条直线，其中直线l₁交圆C₂于A，B两点，直线l₂与椭圆C₁的另一交点为D．
（Ⅰ）求椭圆C₁的标准方程；
（Ⅱ）求△ABD面积的最大值及取得最大值时直线l₁的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得b=1，运用离心率公式和a，b，c 的关系可得a=2，即可得到椭圆的方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₀，y₀）．由题意可知：直线l₁的斜率存在，设为k，则直线l₁的方程为y=kx-1．利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l₁的距离和弦长|AB|，又l₂⊥l₁，可得直线l₂的方程为x+kx+k=0，与椭圆的方程联立即可得到点D的横坐标，即可得出|PD|，即可得到三角形ABD的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到k的值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²-c²=1，
解得a=2，
∴椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₀，y₀），
由题意可知：直线l₁的斜率存在，设为k，则直线l₁的方程为y=kx-1．
又圆C₂：x²+y²=4的圆心O（0，0）到直线l₁的距离d=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴|AB|=2$\sqrt{4-{d}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{4{k}^{2}+3}{1+{k}^{2}}}$，
又l₂⊥l₁，故直线l₂的方程为x+ky+k=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+ky+k=0}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，消去y得到（4+k²）x²+8kx=0，
解得x₀=-$\frac{8k}{4+{k}^{2}}$，
∴|PD|=$\frac{8\sqrt{1+{k}^{2}}}{4+{k}^{2}}$．
∴三角形ABD的面积S_△=$\frac{1}{2}$|AB|•|PD|=$\frac{8\sqrt{4{k}^{2}+3}}{4+{k}^{2}}$，
令4+k²=t＞4，则k²=t-4，
f（t）=$\frac{\sqrt{4（t-4）+3}}{t}$=$\frac{\sqrt{4t-13}}{t}$=$\sqrt{-13（\frac{1}{t}-\frac{2}{13}）^{2}+\frac{4}{13}}$≤$\sqrt{\frac{4}{13}}$，
∴S_△≤$\frac{16\sqrt{13}}{13}$，当且仅当t=$\frac{13}{2}$，即k²=$\frac{5}{2}$，当k=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$时取等号，
故△ABD面积的最大值为$\frac{16\sqrt{13}}{13}$，
此时直线l₁的方程为y=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$x-1．

点评 本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力．