Question

1．如图，四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，SA=AB=BC=4，AD=2，M为SB的中点．
（1）求证：AM∥平面SDC；
（2）求三棱锥S-CDM的体积V_S-CDM．

Answer 1

分析 （1）取SC中点N，连DN，MN，证明AM∥DN，然后利用直线与平面平行的判定定理证明AM∥平面SDC．
（2）解法（一）通过V_S-CDM=V_M-SCD=$\frac{1}{2}$V_B-SCD=$\frac{1}{2}$V_S-CDB求解即可．
解法（二）：利用B到面CDM的距离是S到面CDM的距离相等，直接求解棱锥的体积即可．

解答 （1）证明：取SC中点N，连DN，MN可得，MN∥BC 且MN=$\frac{1}{2}$BC，
又AD∥BC 且AD=$\frac{1}{2}$BC，
所以，MN∥AD且MN=AD，
所以四边形AMND为平行四边形．…（3分）
那么，AM∥DN，
DN?平面ADC，
AM?平面ADC，…（5分）
所以，AM∥平面SDC．…（6分）
（2）解法（一）：V_S-CDM=V_M-SCD=$\frac{1}{2}$V_B-SCD=$\frac{1}{2}$V_S-CDB=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×4×4×4=$\frac{16}{3}$…（12分）
解法（二）：
因为B到面CDM的距离是S到面CDM的距离相等，
所以V_S-CDM=V_B-CDM=V_M-CDB=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×4×4×4=$\frac{16}{3}$．…（12分）

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．