Question

11．如图，侧棱与底面积垂直的三棱柱ABC-A₁B₁C₁各侧棱和底面边长均为2，P，Q分别是棱AB、AC的中点，连结A₁B．
（Ⅰ）求证：直线PQ∥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）求直线A₁B与平面ACC₁A₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据条件即可得到PQ∥BC，从而由线面平行的判定定理得出直线PQ∥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）连接BQ，A₁Q，根据已知条件即可说明∠BA₁Q便是直线A₁B和平面ACC₁A₁所成角，根据已知的边的长度求出BQ，A₁B，从而在Rt△A₁BQ中，由sin∠BA₁Q=$\frac{BQ}{{A}_{1}B}$即可求得答案．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵点P，Q分别是AB，AC的中点；
∴PQ∥BC，BC?平面B₁BCC₁，PQ?平面B₁BCC₁；
∴直线PQ∥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）如图，连接BQ，QA₁；
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱和底面垂直；
∴A₁A⊥平面ABC，BQ?平面ABC；
∴A₁A⊥BQ，即BQ⊥A₁A；
又△ABC三边相等，Q为AC中点；
∴BQ⊥AC，A₁A∩AC=A；
∴BQ⊥平面ACC₁A₁；
∴∠BA₁Q是直线A₁B和平面ACC₁A₁所成的角；
∵AB=BC=AC=A₁A=2；
∴$BQ=\sqrt{3}$，${A}_{1}B=2\sqrt{2}$；
∴在Rt△A₁BQ中，sin∠BA₁Q=$\frac{BQ}{{A}_{1}B}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$；
∴直线A₁B与平面ACC₁A₁所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 考查三角形中位线的性质，线面平行的判定定理，以及线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，线面角的概念及找法，正弦函数的定义．