Question

6．已知关于x的不等式x²-4x+t＜0的解集为（1，m）．
（1）求t，m的值；
（2）若函数f（x）=-x²+ax+4在区间（-∞，2]上递增，求关于x的不等式log_a（-mx²-4x+3-t）＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）一元二次不等式的解法即可根据求t，m的值；
（2）求出a的取值范围，结合对数不等式进行求解即可．

解答 解：（1）∵不等式x²-4x+t＜0的解集为（1，m）．
∴1，m是方程x²-4x+t=0的两个根，
则$\left\{\begin{array}{l}{1+m=4}\\{m=t}\end{array}\right.$，
解得m=3，t=3．
（2）∵函数f（x）=-x²+ax+4在区间（-∞，2]上递增，
∴$\frac{a}{2}≥2$，解得a≥4．
∵log_a（-mx²-4x+3-t）=log_a（-3x²-4x）＞0，
∴-3x²-4x＞1，
即3x²+4x+1＜0，
解得-1＜x＜$-\frac{1}{3}$，
即不等式的解集为（-1，$-\frac{1}{3}$）．

点评 本题主要考查一元二次不等式以及对数不等式的求解，要求熟练掌握相应不等式的求解方法．