Question

17．已知正四面体ABCD的棱长为1，O为底面BCD的中心，则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}$=（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由题意可得，AO⊥平面BCD，连接BO并延长交DC于E点，则点E为DC的中点，可求BE，由BO=$\frac{2}{3}BE$可求BO，然后利用勾股定理可求OA，而$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}$=（$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}$）•$\overrightarrow{AO}$=${\overrightarrow{AO}}^{2}+\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{OB}$=${\overrightarrow{AO}}^{2}$，代入可求

解答 解：由题意可得，AO⊥平面BCD，
接BO并延长交DC于E点，则点E为DC的中点．
∵正△BCD的边长为1，
∴BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵O为底面BCD的中心，
∴BO=$\frac{2}{3}BE$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△AOB中，OA=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}$=（$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}$）•$\overrightarrow{AO}$=${\overrightarrow{AO}}^{2}+\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{OB}$=${\overrightarrow{AO}}^{2}$=$\frac{2}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查了正四面体、等边三角形的性质、数量积的性质的应用，考查了推理能力和计算能力．