Question

12．已知函数f（x）=2-$\frac{2}{x}$．
（1）判断函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性并用定义证明；
（2）求函数f（x）在区间[-3，-1]上的最值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用函数的单调性的定义证得函数f（x）在区间（-∞，0）上单调递增．
（2）由（1）可得函数f（x）在区间[-3，-1]上单调递增，由此求得f（x）在区间[-3，-1]上的最值．

解答 解：（1）证明：对于函数f（x）=2-$\frac{2}{x}$，令x₁＜x₂＜0，
由于f（x₁）-f（x₂）=-$\frac{2}{{x}_{1}}$+$\frac{2}{{x}_{2}}$=$\frac{2{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{x}_{1}{•x}_{2}}$，
而由题设可得x₁•x₂＞0，x₁-x₂＜0，∴$\frac{2{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{x}_{1}{•x}_{2}}$＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故函数f（x）在区间（-∞，0）上单调递增．
（2）由（1）可得函数f（x）在区间[-3，-1]上单调递增，
故当x=-3时，f（x）取得最小值为2+$\frac{2}{3}$=$\frac{8}{3}$，当x=-1时，f（x）取得最大值为2+2=4．

点评 本题主要考查函数的单调性的定义，利用函数的单调性求函数的最值，属于基础题．