Question

2．已知椭圆a²x²-$\frac{a}{2}{y^2}$=1的焦距为4，则a的值为$\frac{1-\sqrt{5}}{4}$．

Answer 1

分析 椭圆a²x²-$\frac{a}{2}{y^2}$=1化为$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{{a}^{2}}}$+$\frac{{y}^{2}}{-\frac{2}{a}}$=1．对$\frac{1}{{a}^{2}}$与$-\frac{2}{a}$的大小关系分类讨论，利用椭圆的性质即可得出．

解答 解：椭圆a²x²-$\frac{a}{2}{y^2}$=1化为$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{{a}^{2}}}$+$\frac{{y}^{2}}{-\frac{2}{a}}$=1．
若$\frac{1}{{a}^{2}}＞-\frac{2}{a}＞0$，即$-\frac{1}{2}＜a＜0$．
则$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{a}$=2²，解得a=$\frac{1±\sqrt{5}}{4}$．
取$a=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$．
若$\frac{1}{{a}^{2}}＜-\frac{2}{a}$，即a＜$-\frac{1}{2}$．
则-$\frac{2}{a}$-$\frac{1}{{a}^{2}}$=2²，无解．
综上可得：a=$\frac{1-\sqrt{5}}{4}$．
故答案为：$\frac{1-\sqrt{5}}{4}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的性质及其解法，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题．