Question

14．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F（-$\sqrt{3}$，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点，当直线AB垂直x轴时，|AB|=$\frac{a}{2}$．
（1）求该椭圆方程；
（2）若斜率存在且不为0的动线段AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D，E两点，O是坐标原点（如图所示），记△GFD的面积为S₁，△OED的面积为S₂，求$\frac{{S}_{1}{S}_{2}}{{{S}_{1}}^{2}+{{S}_{2}}^{2}}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的左焦点F坐标及|AB|=$\frac{a}{2}$，利用椭圆的定义求出a与b的值，即可确定出椭圆方程；
（2）设出直线AB解析式，及A与B的坐标，联立直线与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出G坐标，再设出D坐标，根据DG与AB垂直，EG与AB垂直，利用两直线垂直时斜率乘积为-1表示出D的横坐标与B纵坐标，根据直角三角形FGD与直角三角形EOD相似，得到面积之比等于相似比的平方，求出所求式子的范围即可．

解答 解：（1）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F（-$\sqrt{3}$，0），|AB|=$\frac{a}{2}$，
∴|AF|=$\frac{b}{a}$$\sqrt{{a}^{2}-3}$=$\frac{a}{4}$（由椭圆性质得$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{a}{2}$），
∵a²=b²+3，
∴a²=4，b²=1，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）根据条件可得直线AB的斜率一定存在且不为零，设直线AB解析式为y=k（x+$\sqrt{3}$），
并设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），
联立得$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+\sqrt{3}）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得：（4k²+1）x²+8$\sqrt{3}$k²x+12k²-4=0，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{4\sqrt{3}{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}k}{4{k}^{2}+1}$，即G（-$\frac{4\sqrt{3}{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，$\frac{\sqrt{3}k}{4{k}^{2}+1}$），
设D（x_D，0），由DG⊥AB，EG⊥AB，得到$\frac{\frac{\sqrt{3}k}{4{k}^{2}+1}}{-\frac{4\sqrt{3}{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}-{x}_{D}}$•k=-1，$\frac{\frac{\sqrt{3}k}{4{k}^{2}+1}-{y}_{B}}{-\frac{4\sqrt{3}{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}}$•k=-1，
整理得：x_D=-$\frac{3\sqrt{3}{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，y_B=-$\frac{3\sqrt{3}k}{4{k}^{2}+1}$，
∵Rt△FGD∽Rt△EOD，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{F{D}^{2}}{D{E}^{2}}$=$\frac{3（{k}^{2}+1）^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}$•$\frac{（1+4{k}^{2}）^{2}}{27（1+{k}^{2}）{k}^{2}}$=$\frac{{k}^{2}+1}{9{k}^{2}}$=$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{9{k}^{2}}$＞$\frac{1}{9}$，
设$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=t，则t＞$\frac{1}{9}$，即$\frac{{S}_{1}{S}_{2}}{{{S}_{1}}^{2}+4{{S}_{2}}^{2}}$=$\frac{1}{t+\frac{4}{t}}$，
∴$\frac{{S}_{1}{S}_{2}}{{{S}_{1}}^{2}+4{{S}_{2}}^{2}}$=$\frac{1}{t+\frac{4}{t}}$≤$\frac{1}{4}$，且$\frac{{S}_{1}{S}_{2}}{{{S}_{1}}^{2}+4{{S}_{2}}^{2}}$＞0，
则$\frac{{S}_{1}{S}_{2}}{{{S}_{1}}^{2}+4{{S}_{2}}^{2}}$的范围为（0，$\frac{1}{4}$]．

点评 此题考查了直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质，熟练掌握椭圆的简单性质是解本题第一问的关键．