Question

3．已知函数f（x）=alnx-ax-2（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为135°，且函数g（x）=f（x）-mx²-2x+4存在单调递减区间，求m的取值范围；
（3）试比较$\frac{ln{2}^{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{ln{3}^{2}}{{3}^{2}}$+$\frac{ln{4}^{2}}{{4}^{2}}$+…+$\frac{ln{n}^{2}}{{n}^{2}}$与$\frac{（n-1）（2n+1）}{2（n+1）}$的大小（n∈N*，n≥2），并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用导数，需要分类讨论，可得函数的单调区间；
（2）点（2，f（2））处的切线的倾斜角为135°，即切线斜率为-1，即f'（2）=-1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由g（x）存在单调递减区间，g'（x）＜0在（0，+∞）上有解，分离参数，从而可求m的范围；
（3）利用函数的单调性，$\frac{lnx}{x}＜1-\frac{1}{x}$，∵n∈N⁺，n≥2令x=n²，代入计算，并利用放缩法证明即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{a（1-x）}{x}（x＞0）$．
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞），
当a＜0时，f（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）．
当a=0时，f（x）=-2为常函数，不具有单调性．         
（2）∵$f'（x）=\frac{a（1-x）}{x}$，
∴$f'（2）=-\frac{a}{2}=-1$，
∴a=2．
∴g（x）=2lnx-4x-mx²+2，
∴$g'（x）=\frac{{-2m{x^2}-4x+2}}{x}$，
若g（x）存在单调递减区间，则g'（x）＜0在（0，+∞）上有解，
∴mx²+2x-1＞0在（0，+∞）上有解，
∴$m＞\frac{1-2x}{x^2}$在（0，+∞）上有解，
即?x∈（0，+∞）使得$m＞{（\frac{1}{x}）^2}-\frac{2}{x}$成立，
令$t=\frac{1}{x}，（t＞0）$，
则y=t²-2t，在t=1时，y_min=-1，
∴m的取值范围为（-1，+∞）；
（3）结论：$\frac{{ln{2^2}}}{2^2}+\frac{{ln{3^2}}}{3^2}+\frac{{ln{4^2}}}{4^2}+…+\frac{{ln{n^2}}}{n^2}＜\frac{（n-1）（2n+1）}{2（n+1）}$
证明如下：由（Ⅰ）可知，当a=1时f（x）=lnx-x-2在（1，+∞）上单调递减，
∴当x∈（1，+∞）时，f（x）＜f（1），
∴lnx＜x-1，
∴$\frac{lnx}{x}＜1-\frac{1}{x}$，
又∵n∈N⁺，n≥2令x=n²，
则$\frac{{ln{2^2}}}{2^2}＜1-\frac{1}{2^2}，\frac{{ln{3^2}}}{3^2}＜1-\frac{1}{3^2}，…\frac{{ln{n^2}}}{n^2}＜1-\frac{1}{{′{n^2}}}$，
∴$\frac{{ln{2^2}}}{2^2}+\frac{{ln{3^2}}}{3^2}+\frac{{ln{4^2}}}{4^2}+…+\frac{{ln{n^2}}}{n^2}＜n-1-（\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+…+\frac{1}{n^2}）$$＜n-1-（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{（n-1）（2n+1）}{2（n+1）}$，
∴$\frac{{ln{2^2}}}{2^2}+\frac{{ln{3^2}}}{3^2}+\frac{{ln{4^2}}}{4^2}+…+\frac{{ln{n^2}}}{n^2}＜\frac{（n-1）（2n+1）}{2（n+1）}$．

点评 本题考查了函数的单调性，导数几何意义，不等式的证明，求参数的范围，是一道综合题，属于难题．