Question

13．已知P是椭圆$\frac{x^2}{4}$+y²=1上一点，且$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$=0（F₁、F₂分别是左、右焦点），则△F₁PF₂的面积为1．

Answer 1

分析 通过椭圆方程可知焦距的长，设P（m，n），利用$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$=0可得点P到x轴的距离，根据三角形面积公式计算即得结论．

解答 解：∵椭圆$\frac{x^2}{4}$+y²=1，
∴F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），
设P（m，n），则$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$=（-$\sqrt{3}$-m，0-n）•（$\sqrt{3}$-m，0-n）=0，
即m²+n²=3，
又P是椭圆$\frac{x^2}{4}$+y²=1上一点，
∴m²+4n²=4，
∴m²=$\frac{8}{3}$，n²=$\frac{1}{3}$，
不妨取P（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
则△F₁PF₂的面积为$\frac{1}{2}$h|F₁F₂|=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$•2$\sqrt{3}$=1，
故答案为：1．

点评 本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．