Question

5．设椭圆C₁的离心率为$\frac{5}{13}$，焦点在x轴上，且长轴长为26，若曲线C₂上的点到椭圆C₁的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C₂的标准方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$
• B． $\frac{x^2}{169}-\frac{y^2}{144}=1$
• C． $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$
• D． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

Answer 1

分析 通过椭圆方程即得双曲线C₂的焦点坐标，利用定义可得结论．

解答 解：由题易知曲线C₂即为双曲线，设其方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∵椭圆C₁的离心率为$\frac{5}{13}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{5}{13}$，
又∵椭圆C₁的焦点在x轴上，且长轴长为26，
∴a=13，b²=a²-5²=169-25=144，
∴椭圆C₁的方程为：$\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{144}=1$，
∴椭圆C₁的焦点坐标分别为：（5，0）、（-5，0），
∴双曲线C₂是以（5，0）、（-5，0）为焦点、2a=8的双曲线，
则a=4，c=5，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
即双曲线C₂的方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
故选：D．

点评 本题考查椭圆、双曲线的简单性质，注意解题方法的积累，属于基础题．